Question

如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得△APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标；
（3）连接AP，由勾股定理求AP，分别以A、P两点为圆心，AP长为半径画弧，与x轴交于四个点，由对称性及勾股定理可求四点坐标．
【解析】
（1）根据题意，得
，
解得，
∴二次函数的表达式为y=x2-4x-5；

（2）令y=0，得二次函数y=x2-4x-5的图象与x轴
的另一个交点坐标C（5，0）；
由于P是对称轴x=2上一点，
连接AB，由于，
要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；
由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；
因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；
设直线BC的解析式为y=kx+b，
根据题意可得
解得
所以直线BC的解析式为y=x-5；（9分）
因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组的解，
解得，
所求的点P的坐标为（2，-3）；

（3）M（5，0）或（-1-，0）或（-1，0）或（2，0）．