Question

如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O₁的直径，半圆O₂过C点且与半圆O₁相切，则图中阴影部分的面积是    ．

Answer

连接O1E，O2D，O1O2．则阴影部分的面积=（直角三角形ABC的面积-扇形O2PD的面积-三角形O2CD的面积-扇形O1AE的面积-三角形O1BE的面积）+（扇形O2CD的面积-三角形O2CD的面积+扇形O1BE的面积-三角形O1BE的面积）．根据等腰直角三角形的性质和同圆的半径相等，知三角形O2CD和三角形O1BE都是等腰直角三角形．设半圆O2的半径是x，根据勾股定理列方程即可求解．
【解析】
连接O1E，O2D，O1O2．
设半圆O2的半径是x，根据勾股定理，得
，
解得：x=．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°．
∴∠O2DC=∠C=45°，∠O1EB=∠B=45°．
∴∠CO2D=∠EO1B=90°．
∴阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积-2（直角三角形CO2D的面积+直角三角形BO1E的面积）
=-2（+×）=．