Question

如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

Answer

此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．
（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；（3分）

（2）【解析】
当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．（5分）
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；（7分）

（3）【解析】
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°
∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，
∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，
∴α-60°=50°
∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵190°-α=50°
∴α=140°．
综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）
说明：第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）．