Question

如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

连接OP、CP．先由直径所对的圆周角是直角得到Rt△APC，根据斜边上的中线等于斜边的一半可知PQ=CQ，所以∠QPC=∠QCP，利用等边对等角把角之间的数量关系与∠BCA=90°结合得到∠OPQ=90°，再根据点P在⊙O上可判断PQ是⊙O的切线．
【解析】
直线PQ与⊙O的位置关系是：相切．
其理由如下：
①连接OP、CP．
∵BC是直径，
∴CP⊥AB，
在Rt△APC中，Q为斜边AC的中点；
∴PQ=CQ=AC（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴∠QPC=∠QCP；
又OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP，
又∠BCA=90°，
∴∠OPQ=90°且P在⊙O上，
∴直线PQ与⊙O的位置关系是：相切．

②用三角形全等或者角的和（差）也可证明．