Question

如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心，OE长为半径的圆弧与DC的交点，点P是上的动点，连接OP并延长交直线BC于K．
（1）当P从E点沿运动到F时，K运动了多少单位长度？
（2）过点P作所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于M、G，
①当K与B重合时，BG：BM=？
②在P运动过程中，是否存在BG：BM=3的情况？若存在，求出BK的值；若不存在说明理由．

Answer

（1）当K是射线OE与直线BC的交点时，K运动到最左端，当K是射线OF与直线BC的交点时，K运动到最右端；所以可连接OE、OF，并延长其交直线BC于N、Q，可通过证△OAE≌△NBE，来求得BN的长，同理可求出CQ的长，那么K点运动的距离NQ的长即可求出．
（2）①当K、B重合时，若MG与⊙O相切于P点，那么MG⊥BO于P，则可证得△OAB∽△MBG，那么BM：BG=OA：OB，OA、OB的长易求得，由此可得出BM：BG的值．
②此题的解题思路同①，可过K作AD的垂线，设垂足为H，当M在线段AB上时，可通过证△MBG∽△OHK，得到BM：BG=OH：HK，HK的长即为正方形的边长2，若BM：BG=3，那么OH=，所以存在符合条件的K点，此时BK=OA-OH=；同理可求得在线段BC、CD以及CB的延长线上都存在符合条件的K、M、G点，解法同上．
【解析】
（1）连接OE、OF，并延长OE、OF分别交直线BC于N、Q，
当P从点E运动到点F时，点K从点N运动到了点Q；
∵O、E分别为AD、AB的中点，
∴OA=AE=BE=1，
又∵∠A=∠EBN=90°，∠AEO=∠NEB，
∴△OAE≌△NBE，得OA=BN=1，
同理可得CQ=1；
故NQ=NB+BC+CQ=1+2+1=4，即点K运动了4个单位长度．

（2）①当K、B重合时，
∵MG与弧EF所在的圆相切，且切点为P，
∴OB⊥MG，
∴∠BMP+∠OBA=∠BMP+∠BGM=90°，
∴∠OBA=∠BGM，
又∵∠MBG=∠OAB=90°，
∴△OAB∽△MBG，得：
，由于BA=2OA，则BG：BM=2．

②存在BG：BM=3的情况，理由如下：
假设存在符合条件的P点，使得BG：BM=3，过K作KH⊥OA于H，
则四边形ABKH为矩形，有KH=AB=2；
∵MG与弧EF相切于点P，
∴OK⊥MG，且垂足为P，
∴∠1+∠2=90°；
又∵∠G+∠2=90°，则∠1=∠G；
∵∠OHK=∠GBM=90°，
∴△OHK∽△MGB，
∴，
∴OH=，AH=BK=；
∴存在符合题意的K点，使得BG：BM=3；
同理可得：在线段BC、CD以及CB的延长线上，存在这样的点K′、M″、G′，
使得CK′=，CG′：CM″=3；
连接G′M″交AB于M′，则BG′：BM′=CG′：CM″=3；
此时BK′=BC-K′C=2-=，即BK的值为或．