Question

如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数．

Answer

（1）根据正方形的性质得到∠A=90°，则∠ADP+∠DPA=90°；而线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，得∠DPE=90°，则∠DPA+∠EPB=90°，经过等量代换即可得到结论；
（2）由线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE得PD=PE，易证得Rt△PAD≌Rt△EPG，则AP=EG，AD=PG，而AD=AB，易得AP=BG，则BG=EG，得到△EBG为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠EBG=45°，利用互余即可得到∠CBE的度数．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=90°，
∴∠ADP+∠DPA=90°，
又∵线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，
∴∠DPE=90°，
∴∠DPA+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）过E点作EG⊥AB于G，如图，
∵线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，
∴PD=PE，
而∠ADP=∠EPB，
又∵∠A=∠G=90°，
∴Rt△PAD≌Rt△EPG，
∴AP=EG，AD=PG，
而AD=AB，
∴AP+PB=PB+BG，
∴AP=BG，
∴BG=EG，
∴△EBG为等腰直角三角形，
∴∠EBG=45°，
∴∠CBE=45°．