Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB．过A作AF⊥BD，交BC于G，延长BC至E，使CE=CD．
（1）请指出四边形ACED的形状，并证明；
（2）如果BD=8，AG=6，求△BDE的面积．

Answer

（1）根据ABCD是等腰梯形，得出AD=AB=CD=CE，AD∥CE，即可证出四边形ACED的形状；
（2））根据已知条件得出∠ADB=∠ABD，∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠DBC，再根据BF=BF，∠AFB=∠GFB=90°，证出△AFB≌△GFB，得出BF和AB的值，再由（1）可得AC∥DE，∠E=∠ACB，在等腰梯形ABCD中，得出∠ACB=∠DBC，∠E=∠DBC=∠ABD．从而证出△ABD∽△DBE，再根据相似比得出△BDE的面积．
【解析】
（1）四边形ACED为平行四边形，
在等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED为平行四边形．
（2）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，而BF=BF，∠AFB=∠GFB=90°．
∴△AFB≌△GFB．
∴AF=GF=3．
又∵AG垂直平分BD，
∴BF=4．
在Rt△AFB中，得AB=5．
由（1）可得AC∥DE．
∴∠E=∠ACB．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB，
∵四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
∴DE=BD，
∴∠E=∠DBC，
∴∠E=∠DBC=∠ADB=∠ABD，
∴△ABD∽△DBE，
∴=，而S△ABD=12，
∴S△BDE=．