Question

已知抛物线过点（8，0），
（1）求m的值；
（2）如图a，在抛物线内作矩形ABCD，使点C、D落在抛物线上，点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值；
（3）如图b，抛物线的顶点为E，对称轴与直线y=-x+1交于点F．将直线EF向右平移n个单位后（n＞0），交直线y=-x+1于点M，交抛物线于点N，若以E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求n的值．

Answer

（1）根据抛物线过点（8，0），直接代入求出m即可；
（2）利用配方法求出二次函数的顶点坐标，进而得出A点坐标，以及D点坐标，再利用二次函数的最值求出即可；
（3）根据①当四边形EFNM是平行四边形以及②当四边形EFMN是平行四边形分别求出即可．
【解析】
（1）
∵抛物线过点（8，0），
∴0=-×64+8m，
∴m=4，

（2）抛物线=，
设A点横坐标为m，则AB=8-2m，D（m，），
∴矩形ABCD的周长=2（AD+AB）=2（8-2m）=-（m-2）2+20，
∵a=-1＜0，∴当m=2，矩形ABCD的周长的最大值为20，

（3）直线EF向右平移n个单位（n＞0）使得E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
直线MN的解析式为x=4+n，直线MN与直线y=-x+1交于点M（4+n，-n-3），
又∵E（4，8），F（4，-3），
∴E通过向下平移11个单位得到F．
∵E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴四边形FEMN是平行四边形或四边形EFNM是平行四边形．
①当四边形EFNM是平行四边形，∴M向下平移11个单位得N，
∴N坐标为（4+n，-n-14），
又N在抛物线上，
∴n2-2n-44=0，
解得，（不合题意，舍去）    
②当四边形EFMN是平行四边形，∴M向上平移11个单位得N，
∴N坐标为（4+n，-n+8），
又N在抛物线上，
∴n2-2n=0，
解得n1=2，n2=0（不合题意，舍去），
∴n的值为2，．