Question

如图1，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°再将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）．

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决．
（1）将图3中的△ABC沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A₁F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB₁交DE于点H，请证明：AH=DH．

Answer

先根据含30°的直角三角形三边的关系得到FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=EF=5．
（1）根据平移的性质得到FC1=BF，从而得到平移的距离；
（2）根据旋转的性质得∠AFA1=30°，则∠A1FD=60°，得到FG⊥CD，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到EG=EF，则可得到DG，从而求出k的值；
（3）根据折叠的性质得到B1F=BF=EF，∠AB1F=∠B=60°，则DB1=AE，∠DB1H=∠AEH=120°，易证△DB1H≌△AEH，即可得到结论．
【解析】
∵AB=DE=10，∠A=∠D=30°，
∴FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=EF=5．

（1）如图4，FC1=BF=5，
所以△ABC沿BD向右平移的距离为5；

（2）∵△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，
∴∠AFA1=30°，
∴∠A1FD=60°，
而∠D=30°，
∴FG⊥CD，
∴EG=EF=，
∴DG=10-=，
∴DG=3EG，
∴k的值为3；

（3）∵△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，
∴B1F=BF=EF，∠AB1F=∠B=60°，
∴DB1=AE，∠DB1H=∠AEH=120°，
而∠DHB1=∠AHE，
在△DB1H与△AEH中，
∵∠DB1H=∠AEH，DB1=AE，∠DHB1=∠AHE，
∴△DB1H≌△AEH，
∴AH=DH．