Question

如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E，F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以说明．

Answer

由垂径定理知，点D是AB的中点，有AD=BD，可证△CAD≌△CBD，可得AC=BC；由E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，得DF=CE=AC，DE=CF=BC，即DE=DF=CE=CF，从而可得四边形CEDF为菱形．
四边形CEDF为菱形．
证明：∵AB为弦，CD为直径所在的直线且AB⊥CD，
∴AD=BD，∠ADC=∠CDB，
在△ADC和△BDC中，
∴△CAD≌△CBD（SAS），
∴AC=BC；
又∵E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，
∴DF=CE=AC，DE=CF=BC，
∴DE=DF=CE=CF，
∴四边形CEDF为菱形．