Question

如图，AB为弦，直线BC是⊙O的切线，OC交AB于P，PC=BC．
（1）求证：OA⊥OC；
（2）已知⊙O的半径为3，CP=4，求弦AB的长．

Answer

（1）连接OB，根据等腰三角形性质求出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，推出∠A=∠OBP，∠APO=∠PBC，根据切线性质求出∠OBC=90°，代入即可求出答案；
（2）延长CO交⊙O于Q，根据切割线定理求出CM，求出PM、OP，根据勾股定理求出AP，根据相交弦定理求出BP即可．
（1）证明：连接OB，
∵OA=OB，CP=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠APO=∠CBP，
∵CB切⊙O于B，
∴∠OBC=90°，
即∠A+∠APO=∠CBP+∠OBA=90°，
∴∠AOC=180°-90°=90°，
∴OA⊥OC．

（2）【解析】
延长CO交⊙O于Q，
∵CP=CB，CP=4，
∴BC=4，
∵CB是⊙O的切线，CMQ是圆O的割线，
由切割线定理得：CB2=CM•CQ，
∴42=CM（CM+3+3），
解得：CM=2，
∴PM=2，OP=3-2=1，
在△AOP中，由勾股定理得：AP==，
由相交弦定理得：AP×BP=MP×PQ，
∴×BP=2×（3+1），
∴BP=，
∴AB=AP+BP=+=．