Question

在Rt△ABC中，∠B=90°，B（0，0），A（0，4），C（4，0）．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）当t为何值时，线段DE长为；
（2）当线段EF与以点B为圆心，半径为1的⊙B有两个公共交点时，求t的取值范围．

Answer

（1）在Rt△ABC中，由OA=4，OC=4，运用正切函数的定义得出∠C=30°，再运用含t的代数式分别求出点E、F的坐标，然后根据线段DE长为得到关于t的方程，求解即可；
（2）当线段EF与⊙B有两个公共交点时，直线EF与⊙B相交，此时圆心到直线的距离小于圆的半径．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，B（0，0），A（0，4），C（4，0），
∴tanC=OA：OC=，
∴∠C=30°．
在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t，CF=t，
∴OF=4-t，
∴D（4-t，t）．
又∵AE=t，
∴OE=4-t．
∴E（0，4-t）．
当线段DE长为时，有（4-t）2+（t-4+t）2=39，
解得t1=，t2=5（不合题意，舍去）．
故t1=时，线段DE长为；

（2）∵⊙B的半径为1，
∴当点O到EF的距离小于1时，直线EF与⊙B相交．
而点O到EF的距离即为直角△EOF斜边EF上的高的长度，设直角△EOF斜边EF上的高为h．
∵AE∥DF，AE=DF=t，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴∠EFO=∠C=30°，
则h=OF•sin∠EFO=OF=，
∴＜1，
解得t＞．
又∵点D从点C出发沿CA方向运动，同时点E从点A出发沿AB方向运动，DF⊥BC于点F，
∴AE≤3即OE≥1，
∴4-t≥1，
∴t≤3．
故t的取值范围为：＜t≤3．