Question

二次函数y=mx²+（m-2）x-2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A坐标；
（2）当∠ABC=45°时，①求m的值；②将此抛物线向下平移个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于M点，与y轴交于N点，请在抛物线C′上求点P，使得△MNP是以N，M为顶点直角的直角三角形．

Answer

（1）根据已知y=mx 2+（m-2）x-2可化为两根式y=（mx-2）（x+1），进而得出A点坐标即可；
（2）①当∠ABC=45°时，则△OBC为等腰直角三角形，OB=OC==2，求出m即可；
②使得△MNP是以N，M为顶点直角的直角三角形的两种情况：一是当PM垂直MN时，二是当PN垂直MN时，分别求出即可．
【解析】
（1）二次函数y=mx 2+（m-2）x-2可化为两根式y=（mx-2）（x+1），
则与x轴交点的横坐标x1=，x2=-1，
∵点A在点B的左侧，m＞0，
∴A点坐标为（-1，0）；

（2）①点C坐标可求得为（0，-2），
当∠ABC=45°时，则△OBC为等腰直角三角形，
OB=OC==2，
即m=1，
②二次函数的解析式为y=x2-x-2；
将二次函数y=x2-x-2向下平移个单位后，得到抛物线C'，
则抛物线C'的解析式为y=x2-x-，
求得M的坐标为（-，0）、N的坐标为（0，-），
直线MN的解析式为y=-x-，
在抛物线C'上求点P，使得△MNP是以N，M为顶点的直角三角形的两种情况：
①是当PM垂直MN时，
∵直线MN的解析式为y=-x-，
∴设直线PM的解析式为：y=x+b，
∵M的坐标为（-，0），
∴×（-）+b=0，解得b=，
∴PM的解析式为：y=x+，
联立y=x2-x-，
解得x=，y=，
所以P的坐标为（，）；
二是当PN垂直MN时，
PN的解析式可求得为y=x-，
联立y=x2-x-，
解得x=，y=-，
所以P的坐标为（，-）．