Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DE∥AC，交AB于E，设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，△ADE的面积最大？最大面积是多少？

Answer

（1）根据已知条件利用勾股定理即可表示出y与x的函数关系式，根据实际意义即可求出x的取值范围；
（2）利用配方法即可求出二次函数的最大值．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，AC==6，
∴tanB=．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠BCA=90°．
∴DE=BD•tanB=x，CD=BC-BD=8-x．
设△ADE中DE边上的高为h，∵DE∥AC，∴h=CD．
∴y=DE•CD=•（8-x），即y=+3x．
自变量x的取值范围是0＜x＜8；

（2）x==4时，y最大==6．
即当x=4时，△ADE的面积最大为6．