Question

已知a、b均为整数，直线y=ax+b与三条抛物线y=x²+3，y=x²+6x+7和y=x²+4x+5交点的个数分别是2，1，0，若bx²+ay²=6x，求x²+y²的最大值．

Answer

把直线解析式与抛物线的解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系分别列式得到关于a、b的不等式与方程，把方程变形可得4b=-（a2-12a+8），分别代入不等式组成关于a的不等式组，求解得到a的取值范围，再根据a、b是整数求出a、b的值，代入bx2+ay2=6x并用x表示出y2，再根据非负数的性质求出x的取值范围，再把x2+y2写成关于x的代数式，根据二次函数的增减性求出最大值即可．
【解析】
根据题意得，x2+3=ax+b，
x2+6x+7=ax+b，
x2+4x+5=ax+b，
∵直线与三条抛物线的交点的个数分别是2，1，0，
∴△1=a2-4×1×（3-b）=a2+4b-12＞0①，
△2=（6-a）2-4×1×（7-b）=a2-12a+4b+8=0②，
△3=（4-a）2-4×1×（5-b）=a2-8a+4b-4＜0③，
由②得，4b=-（a2-12a+8）④，
④分别代入①、③得，，
整理得，
解得＜a＜3，
∵a是整数，
∴a=2，
∴4b=-（22-12×2+8）=12，
解得b=3，
∴3x2+2y2=6x，
整理得，y2=≥0，
∴6x-3x2≥0，
整理得，3x（x-2）≤0，
或（无解），
解得0≤x≤2，
设Z=x2+y2，
=x2+，
=-x2+3x，
=-（x-3）2+，
∴当x≤3时，函数值Z随x的增大而增大，
当x=2时，Z最大值=-（2-3）2+=4，
即当x=2时，x2+y2的最大值为4．