Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边三角形的另一顶点E在腰AB上，点F在线段CD上，∠FBC=30°，连接AF．下列结论：①AE=AD；  ②AB=BC；③∠DAF=30°；④；⑤点F是线段CD的中点．
其中正确的结论的个数是（ ）

A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

Answer

①根据直角梯形ABCD，得到∠DCB+∠ADC=180°，∠BAD=∠B=90°，求出∠ADC=105°，根据等边三角形的性质得出∠EDC=∠DCE=60°，求出∠EDA=45°即可得出AE=AD，
②连接AC，由∠EDA=∠ADE=45°，得到AE=AD，根据等边三角形，得到CE=CD证△DCA≌△DCA，推出∠ECA=∠DCA=30°，求出∠CAB=45°，推出∠CAB=∠ACB即可得出AB=BC；
③连接AF，BF、AD的延长线相交于点G．根据三角形的内角和定理以及②的结论发现等边三角形ABF，从而求解．
④利用三角形面积公式，求出三角形的高进而得出面积比．
⑤由△BCF≌△GDF．得出DF=CF，即点F是线段CD的中点．
【解析】
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DCB+∠ADC=180°，∠BAD=∠B=90°，
∵∠DCB=75°，
∴∠ADC=105°，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠EDC=∠DCE=60°，
∴∠EDA=45°，
∴∠AED=45°，
∴AE=AD，
故：①AE=AD此选项正确；

证明：连接AC，
∵∠AED=∠ADE=45°，
∴AE=AD
∵△DCE是等边三角形，
∴CE=CD
∵AC=AC，
∴△DCA≌△ECA，
∴∠ECA=∠DCA=30°，
∵∠DCB=75°，
∴∠ACB=45°
∵∠B=90°，
∴∠CAB=45°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴AB=BC；
故②AB=BC选项正确；

【解析】
∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°．
连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，
∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，
∴∠BFC=75°，故BC=BF．
由②知：BA=BC，故BA=BF，
∵∠ABF=60°，
∴AB=BF=FA，
又∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠FAG=∠G=30°．
∴③∠DAF=30°此选项正确；
∴FG=FA=FB．
∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，
∴△BCF≌△GDF．
∴DF=CF，即点F是线段CD的中点．
故⑤点F是线段CD的中点此选项正确；
连接AC，交ED与点H，
由以上分析可以易证AC⊥DE，
S△AED：S△CED=DE•AH：DE•CH=AH：CH，
∵AE=AD，∠AED=45°，
∴AH=DE，
∵△EDC为等边三角形，
∴CH=DE，
∴
∴④选项正确；
故正确的有：5个，
故选：A．