Question

如图，是二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的一部分，
给出下列命题：
①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0
④ax²+bx+c=0的两根分别为-3和1；
⑤8a+c＞0．其中正确的命题是    ．

Answer

由抛物线的开口方向判断a的符号；然后结合对称轴判断b的符号；根据抛物线的对称轴、抛物线与x的一个交点可以推知与x的另一个交点的坐标；由二次函数图象上点的坐标特征可以推知x=1满足该抛物线的解析式．
【解析】
①根据抛物线是开口方向向上可以判定a＞0；
∵对称轴x=-=-1，
∴b=2a＞0；
∵该抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0；
故本选项正确；

②由①知，b=2a；
故本选项错误；

③∵该抛物线与x轴交于点（1，0），
∴x=1满足该抛物线方程，
∴a+b+c=0；
故本选项正确；

④设该抛物线与x轴交于点（x，0）），
则由对称轴x=-1，得=-1，
解得，x=-3；
∴ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；
故本选项正确；

⑤根据图示知，当x=-4时，y＞0，
∴16a-4b+c＞0，
由①知，b=2a，
∴8a+c＞0；
故本选项正确；
综合①②③④⑤，上述正确的①③④⑤；
故答案是：①③④⑤．