Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，AC⊥x轴于点C，，AB=，OB=OC．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若一次函数与反比例函数的图象的另一交点为D，作DE⊥y轴于点E，连接OD，求△DOE的面积．

Answer

（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求得AC=4，BC=6；然后由已知条件“OB=OC”求得点A、B的坐标；最后将其代入直线方程和反比例函数解析式，即利用待定系数法求函数的解析式；
（2）由反例函数y=的几何意义可知，S△DOE=|k|．
【解析】
（1）∵AC⊥x轴于点C，∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，，
设 AC=2a，BC=3a，则．
∴．   
 解得：a=2．
∴AC=4，BC=6．   …（2分）
又∵OB=OC，∴OB=OC=3．∴A（-3，4）、B（3，0）．   …（4分）
将A（-3，4）、B（3，0）代入y=kx+b，∴
解得：…（6分）
∴直线AB的解析式为：．                    …（7分）
将A（-3，4）代入得：．解得：m=-12．
∴反比例函数解析式为．                         …（8分）

（2）∵D是反比例函数上的点，DE⊥y于点E，
∴由反例函数的几何意义，得S△DOE=．…（10分）