Question

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x²-2x+3的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D、C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）在y轴上找一点P，使△ABP是直角三角形，并求出点P的坐标．

Answer

（1）设y=0，解一元二次方程求出A、B两点的坐标，令x=0，求出C的坐标，从而求出D的坐标，由题意可得四边形ABCD为梯形，利用梯形的面积公式求出四边形ABCD的面积；
（2）依AB为直径画圆，所画圆于y轴的交点即为所求的点P，有射影定理（或三角形相似）即可求出P的坐标．
【解析】
（1）设y=0，则y=-x2-2x+3=0，
解得：x=-3或1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
设x=0，则y=3，
∴C（0，3），
∵抛物线的对称轴为x=-=-1，
∴D（-2，3），
∵点D、C关于抛物线的对称轴对称，
∴四边形ABCD为梯形，
∴SABCD===6；
（2）如图所示：依AB为直径画圆，交y轴于点P，
∵AB为圆的直径，
∴∠APB=90°，
∴三角形APC是直角三角形，
∵OP⊥AB，
∴OP2=AO•BO=3×1=3，
∴OP=，
∴点P（0，）或（0，-）．