Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点B（1，0）、C（-3，0），且过点A（3，6）．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，连接CP、PB、BQ，试求四边形PBQC的面积．
（3）在x轴上找一点M，使以点B、P、M为顶点的三角形与△ABC相似，求点M的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法直接将点B（1，0）、C（-3，0）、A（3，6）的坐标代入抛物线的解析式就可以求出抛物线的解析式，设出直线AC的解析式，将A、C的坐标代入就可以了．
（2）根据抛物线的解析式求出对称轴，再求出Q点的坐标，再用S△BCQ+S△BCP就可以求出四边形PBQC的面积．
（3）根据两点间的距离公式求出AC、BC和AB的值分3种情况，当△ABC∽△MPB，△ABC∽△PMB，由相似三角形的性质可以求出对应的M的坐标．
【解析】
（1）∵点B（1，0）、C（-3，0）、A（3，6）在物线y=ax2+bx+c上，
∴
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+x-．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得，
∴直线AC的解析式是：y=x+3．

（2）∵抛物线的解析式为：y=x2+x-．
y=（x+1）2-2
∴对称轴x=-1，P（-1，-2）
∴y=-1+3=2，
∴Q（-1，2）．
∵B（1，0）、C（-3，0），
∴BC=4，
∴S四边形CPDQ=S△BCQ+S△BCP
=+
=8

（3）∵B（1，0）、C（-3，0）、A（3，6）、P（-1，-2），
∴由两点间的距离公式，得
AC=6，AB=2，BC=4，BP=2
当△ABC∽△M1PB时，

∴，
BM1=6
∴M1（-5，0），
当△ABC∽△PM2B时，
∴，
∴
∴M2B=，
∴M2（-，0）
∴M（-5，0）或（-，0）