Question

如图，抛物线y=x²-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0．-1）．且对称轴x=l．
（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3？若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）．

Answer

（1）根据二次函数对称轴公式以及二次函数经过（0．-1）点即可得出答案；
（2）根据S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，表示出关于a的一元二次方程求出即可；
（3）分别从当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可以及当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，分别求出即可．
【解析】
（1）∵抛物线与y轴交于点C（0．-1）．且对称轴x=l．
∴，解得：，
∴抛物线解析式为y=x2-x-1，
令x2-x-1=0，得：x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），

（2）设在x轴下方的抛物线上存在D（a，）（0＜a＜3）使四边形ABCD的面积为3．
作DM⊥x轴于M，则S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，
∴S四边形ABDC=|xAyC|+（|yD|+|yC|）xM+（xB-xM）|yD|
=×1×1+[-（a2-a-1）+1]×a+（3-a）[-（a2-a-1）]
=-a2++2，
∴由-a2++2=3，
解得：a1=1，a2=2，
∴D的纵坐标为：a2-a-1=-或-1，
∴点D的坐标为（1，-），（2，-1）；

（3）①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为-4或4，
当x=-4时，y=7；当x=4时，y=；
所以此时点P1的坐标为（-4，7），P2的坐标为（4，）；
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，
过点P3作x轴的垂线交于点H，
可证得△P3HG≌△Q3OG，
∴GO=GH，
∵线段AB的中点G的横坐标为1，
∴此时点P横坐标为2，
由此当x=2时，y=-1，
∴这是有符合条件的点P3（2，-1），
∴所以符合条件的点为：P1的坐标为（-4，7），P2的坐标为（4，）；P3（2，-1）．