Question

如果有一个三位数的奇数，它除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数．

Answer

首先根据已知得出要使a-b+c被11整除，其值只能是0和11，进而讨论当a-b+c=0时，得9a+b=a2+b2+c2，以及当a-b+c=11时，得9a+b+1=a2+b2+c2．分别求出即可．
【解析】
设三位数为100a+10b+c，a，b，c都是整数，0＜a≤9，0≤b，c≤9，c为奇数，
那么 ，
∵a最小是1，b最大是9，c最小是0，即可得出，-8＜a-b+c，
a最大是9，b最小是0，c最大是9，即可得出，a-b+c＜18．
∴-8＜a-b+c＜18，
要使a-b+c被11整除，其值只能是0和11，
（ 1）当a-b+c=0时，得9a+b=a2+b2+c2．
以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得
2a2+2（c-5）a+2c2-c=0
把c=1，3，5，7，9 逐一讨论a的解
当c=1时，无整数解，当 c=3，5，7，9时，无实数根；
∴此时没有满足条件的三位奇数；

（2）当a-b+c=11时，得9a+b+1=a2+b2+c2．
以b=a+c-11代入，并整理为关于a的二次方程，得
2a2+2（c-16）a+2c2-23c+131=0．
把c=1，3，5，7，9 逐一讨论a的解
当c=1时，无整数解，当 c=5，7，9时，无实数根；
只有当c=3时，a=8，b=0适合所有条件．
即所求三位数为803．
综上所述，符合条件的三位数为803．