Question

如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）求直线CD的函数解析式；
（3）设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：△AEF的最大面积．

Answer

（1）作BG⊥OA于G，连接AC．利用等边三角形的性质可知：OG=1，BG=，所以B（1，）．根据直角三角形中的三角函数值可计算得OC=OAtan30°=．所以C（0，）．
（2）根据切线的性质求得OD=OCtan30°=．即，结合点C（0，），利用待定系数法求得直线CD的函数解析式为．
（3）先求出四边形ABCD的周长．设AE=t，△AEF的面积为S，根据题意用含t的代数式表示S，即可得到关于S，t的二次函数，S=t（3+-t），结合自变量t的取值范围，可求得△AEF的最大面积为．
【解析】
（1）∵A（2，0），∴OA=2．
作BG⊥OA于G，∵△OAB为正三角形，∴OG=1，BG=．∴B（1，）．
连AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°，∴OC=OAtan30°=．
∴C（0，）．

（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圆的直径，
又∵CD是圆的切线，∴CD⊥AC．∴∠OCD=30°，OD=OCtan30°=．
∴．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得．
∴直线CD的函数解析式为．

（3）∵AB=OA=2，，CD=2OD=，BC=OC=，
∴四边形ABCD的周长．
设AE=t，△AEF的面积为S，
则，．
∵．
∴当时，．
∵点E，F分别在线段AB，AD上，
∴，解得．
∵满足，
∴△AEF的最大面积为．