Question

（1）求证：关于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；
（2）若关于x的方程x²-2x+3k-6=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）设题（1）中方程的两根为a、b，若恰有一个直角三角形的三边长分别为2、a、b，试求m的值．

Answer

（1）证明一个一元二次方程有两个实数根需要证明△≥0．
（2）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可．△=k2-4×1×（-1）=k2+4，因为k2≥0，可以得到△＞0．
（3）根据（1）中的方程求出x1和x2的值，即可得出a、b的值，再根据直角三角形三边之间的关系得出m的值．
证明：（1）∵x2+（m-3）x-3m=0是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4×1×（-3m）
=m2+6m+9
=（m+3）2≥0，
∴原方程一定有两个实数根．
（2）△=（2）2-4（3k-6）
=4（2k-3）-12k+24
=-4k+12
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴-4k+12＞0，
∴k＜3；
∵2k-3≥0，
∴k≥，
∴k的取值范围是：
≤k＜3；
（3）x2+（m-3）x-3m=0
（x+m）（x-3）=0
解得：x1=-m，x2=3，
∴a=-m，b=3，
∴22+（-m）2=32，
m=，
∵a=-m＞0，
∴m＜0，
∴m=-，
22+32=（-m）2
m=
∵m＜0，
∴m=-；
∴m的值是：m=-或m=-．