Question

已知关于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等的实数根，试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．

Answer

先把方程变为一般式：（c-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．
证明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0
去括号，整理为一般形式为：（c-a）x2+2bx+a+c=0，
∵关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根．
∴△=0，即△=△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，
∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2．
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．