Question

在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴相交于A，B两点，直线AB的函数表达式为 ，圆M经过原点O，A，B三点．
（1）求出A，B的坐标；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上且抛物线经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）如图，设（2）中求得的开口向下的抛物线交x轴于D、E两点，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据一次函数与坐标轴交点坐标求法得出答案即可；
（2）利用顶点式由B点坐标求出二次函数解析式即可；
（3）首先求出△ABC的面积，进而求出D，E坐标，进而求出△PDE的高，即可求出P点坐标．
【解析】
（1）令y=0，得，
x=-8，
令x=0，y=-6，
∴A（-8，0）B（0，-6）；

（2）∵CM⊥OA，
∴CM平分OA，
∵M为AB中点，
∴NM为△AOB中位线，
NM=OB=3，
∴AM=5，
当抛物线开口向下时，顶点为C（-4，2）的抛物线解析式为：，
当抛物线开口向上时，顶点为C（-4，-8）的抛物线解析式为：；

（3）∵CM=5，AD=4，DO=4，
∴S△ABC=20，
∴，
令y=0，得，
D（-6，0）E（-2，0），DE=4，
 ，
h=1，
当y=1时，
1=-（x+4）2+2，
解得：x1=-4+，x2=-4-．
∴P1（-4+，1），P2（-4-，1）；
 当y=-1时，
 ，
解得：，
∴P3（-4+，-1），P4（-4-，-1）．
故抛物线上存在点P，使得，此时，点P的坐标为：P1（-4+，1），P2（-4-，1），P3（-4+，-1），P4（-4-，-1）．