Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．
（1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，
①求证：△AEG∽△FEA；
②试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

Answer

（1）根据在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根据BC=CD，AE=AD求得AE=AC-CD即可．
（2）①根据FA=FE=AB=1，求得AE可得△FAE是黄金三角形求证△AEG∽△FEA；
②利用①中所求可得∠EAG=∠F=36°．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=得：
AC==，
∵BC=CD，AE=AD，
∴AE=AC-CD=．

（2）①理由如下：∵FA=FE=AB=1，AE=，
∴=，
∴△FAE是黄金三角形，
∴∠F=36°，∠AEF=72°
∵AE=AG，FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA=∠AGE，
∴△AEG∽△FEA，
②∵△AEG∽△FEA，
∴∠EAG=∠F=36°．