Question

已知点A是直线y=-3x+6与y轴的交点，点B在第四象限且在直线y=-3x+6上，线段AB的长度是3．将直线y=-3x+6绕点A旋转，记点B的对应点是B₁，
（1）若点B₁与B关于y轴对称，求点B₁的坐标；
（2）若点B₁恰好落在x轴上，求sin∠B₁AB的值．

Answer

（1）欲求点B1的坐标，求出点B坐标即可．过点B作BD⊥Y轴，垂足为D，利用三角形相似就可以求出B的坐标；
（2）欲求sin∠B1AB的值，需构建直角三角形，因此过B1作B1E⊥AC，垂足为E，运用面积法求出B1E即解．
【解析】
（1）如图，设直线y=-3x+6与x轴交于点C，
则C（2，0）．
∴AC==2，
过点B作BD⊥y轴，垂足为D，
∴△AOC∽△ADB，
∴=，
∴DB==，
又∵=，
∴AD==，
∴OD=-6，
=，
∴点B（，），
∴点B1（-，）；

（2）当直线AB绕点A顺时针旋转，点B的对应点落在x负半轴上时，记点B的对应点为B1．
∵AB=3
由旋转的性质可知AB1=AB=3，
∴B1O==3，
B1C=5，
过B1作B1E垂直AC，垂足为E．
则有×B1E×AC=×AO×B1C，
∴B1E==，
在Rt△AB1E中，sin∠B1AB===，
当直线AB绕点A逆时针旋转，点B的对应点落在x正半轴上时，记点B的对应点为B2．
则B2O=3，
过B2向AB作垂线B2F，垂足为F．
∵∠B1EC=∠B2FC=90°，∠ECB1=∠FCB2
∴△B1EC∽△B2FC，
∴=，
∴FB2=，
在Rt△AFB2中，sin∠B2AF===，
∴sin∠B1AB的值是或．