Question

已知直线l过点P（2，1），分别与x轴、y轴交于点A、B，且PA=PB．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）设⊙Q是Rt△AOB的内切圆，分别与OA、OB、AB相切于点D、E、F，求证：AD、BE的长是方程x²-2x+4=0的两个根．

Answer

（1）根据点A（4，0）与P（2，1），利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）利用直角三角形内切圆的半径求法，得出AD，BE的长度，再利用根与系数关系得出即可．
【解析】
（1）如图，建立坐标系，依据题意构造Rt△ABC，过点P作PH⊥OA，垂足为H，
∵PA=PB，
∴OH=HA，
∴A（4，0），
设直线l的函数解析式为：y=kx+b，
∵点A（4，0）与P（2，1）在直线l上，
∴，
解得：；
∴直线l的函数解析式为：y=-x+2；

（2）由（1）知，在Rt△AOB中，AO=4，BO=2，AB=2，
∵⊙Q是Rt△AOB的内切圆，
∴AD=AF，BE=BF，OD=OE，
∴AD+BE=AF+BF=AB=2，
∴在直角三角形中，内切圆半径r与三边长的关系有：
OD=，
=，
=3-，
则AD=AO-OD=4-（3-）=1+，
BE=BO-OE=2-（3-）=-1，
∴AD•BE=（+1）（-1）=4，
由根与系数的关系得出AD、BE的长是方程x2-2x+4=0的两个根．