Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30，矩形DEFG的一边在AB上，顶点G、F分别在AC、BC上，若DG：GF=1：4，则矩形DEFG的面积为    ．

Answer

先设AD=x，由于∠C=90°，AC=BC，那么∠A=∠B=45°，又四边形DEFG是矩形，那么根据其性质有∠ADG=∠FEB=90°，DG=EF，GF=DE，易证AD=DG=BE=EF，于是DE=FG=4x，那么AB=6x=30，易求x，再根据矩形的面积公式可求面积．
【解析】
设AD=x，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
又∵四边形DEFG是矩形，
∴∠ADG=∠FEB=90°，DG=EF，GF=DE，
∴∠AGD=∠EFB=45°，
∴AD=DG=BE=EF，
∴GF=4x，
∴AB=x+4x+x=6x=30，
∴x=5，DE=GF=20，
∴S矩形DEFG=5×20=100．