Question

已知m，n是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根，求证：以m+n为边长的正方形面积与以m、n为边长的矩形面积之比不小于4．

Answer

根据根与系数的关系求得m+n=-，mn=；从而推知正方形、长方形的面积；然后根据一元二次方程的根的判别式求得它们的比值即可．
证明：∵m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根，
∴m+n=-，mn=，
∴以m+n为边长的正方形面积S正方形=（m+n）2=，a、c同号；
以m、n为边长的矩形面积S矩形=mn=，
∴S正方形：S矩形=b2：ac；
又关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根，
∴b2-4ac≥0，即b2≥4ac，∴≥4，
即S正方形：S矩形=b2：ac≥4，
∴以m+n为边长的正方形面积与以m、n为边长的矩形面积之比不小于4．