Question

如图，有一块矩形空地，要在这块空地上设计出一个平行四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，并且AE=AH=CG=CF．
（Ⅰ）若已知矩形的长为20m，宽为10m，设CG=x，写出四边形EFGH的面积y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；当CG取多长时，四边形EFGH的面积最大？
（Ⅱ）当矩形的长为a，宽为10时（a＞10），问当CG取多长时，四边形EFGH的面积最大？

Answer

（Ⅰ）根据题意，设CG=x，由图得S四边形EFGH=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△DHG，可得二次函数关系式，根据其性质，即可解出；
（Ⅱ）根据二次函数的性质，分两种情况：0＜≤10和＞10，讨论解答出即可；
【解析】
（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，BC=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵CG=CF=AE=AH=x，则DG=BE=20-x，DH=BF=10-x，
∴S四边形EFGH=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△DHG，
=200-x2-（20-x）（10-x），
=-2x2+30x，
其中x的取值范围是0＜x≤10，
当x=时，S四边形EFGH最大．

（Ⅱ）同理可得S=-2x2+（10+a）x（0＜x≤10），
当0＜≤10，且a＞10，即10＜a≤30时，
CG=时，四边形EFGH的面积最大；
当＞10，即a＞30时，
CG=10时，四边形EFGH的面积最大．