Question

如图所示，在平面直角坐标系中，现将一张等腰直角三角形纸片ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点B的坐标为（-3，1），且抛物线y=ax²+ax-4a经过点B．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）求点A和点C的坐标；
（Ⅲ）以AC所在直线为对称轴，将△ABC折叠，问点B的对称点B₁是否落在抛物线上？再以AC的中点为对称中心，将△ABC作中心对称变换，这时点B的对称点B₂是否落在抛物线上？若在，求出它们的坐标；若不在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据图象经过B点直接代入解析式求出a即可；
（Ⅱ）首先过点B作BD⊥x轴，证明△BCD≌△CAO，进而得出A，C点的坐标；
（Ⅲ）首先证明△MB1C≌△DBC，同理可证△AB2N≌△CAO，即可得出点B1（1，-1）与点B2（2，1），进而得出答案．
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线y=ax2+ax-4a经过点B，
∴1=9a-3a-4a，
解得：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x2+x-2；

（Ⅱ）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∵点B坐标是（-3，1），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点A的坐标S是（0，2），点C的坐标是（-1，0）；

（Ⅲ）B1和B2都在抛物线上，
延长BC至点B1，使得B1C=BC，得到点B的对称点B1，
过点B1作B1M⊥x轴，
∵CB1=CB，∠MCB1=∠BCD，∠B1MC=BDC=90°，
∴△MB1C≌△DBC，
∴CM=CD=2，B1M=BD=1，
可求得点B1（1，-1），
过点A作AB2∥CB，且AB2=CB，得到点B的对称点B2，
过点B2作B2N⊥y轴，
同理可证△AB2N≌△CAO，
∴NB2=OA=2，AN=OC=1，
可求得点B2（2，1），
经检验，点B1（1，-1）与点B2（2，1）都在抛物线y=x2+x-2上．