Question

一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：
①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；
②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a-b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b-a）．
例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．
请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．
（1）（3，5）；（2）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．

Answer

根据题目要求及两个规则，可以得到，a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数．
所以由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．
又由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．
所以而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．
由此可排除不能到达的点．
【解析】
（1）能到达点（3，5）和点（200，6）．
从（1，1）出发到（3，5）的路径为：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）
→（3，4）→（3，8）→（3，5）．
从（1，1）出发到（200，6）的路径为：
（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）
→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）
→（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）；

（2）不能到达点（12，60）和（200，5）．
理由如下：
∵a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，
∴由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．
∵如果a＞b，a和b的最大公约数=（a-b）和b的最大公约数，
如果a＜b，a和b的最大公约数=（b-a）和b的最大公约数，
∴由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．
从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．
∵1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．
∴从（1，1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．