Question

如图，∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，试判断三角形ABC的形状，并说明理由．

Answer

∵∠BAD=∠BDA=15°，∴AB=DB，因此首先将△ABC绕B点旋转，使A点与D点重合，得△ABC′，连接CC′，则得到△ABC≌△ABC′，再由角的关系及等腰三角形的性质证明△ACD≌△C′DC，△ABD≌△CBC′，得出∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°，从而得证．
【解析】
三角形ABC为等边三角形；  理由：∵∠BAD=∠BDA=15°，∴AB=DB，
因此将△ABC绕B点旋转，使A点与D点重合，连接CC′，
则△ABC≌△ABC′，
∴BC=BC′，AC=DC′，∠BDC=∠BAC，∠ABC=∠DBC′，
∵∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，
∴∠CDC′=∠CDA+∠BDA+∠BDC′=∠CDA+∠BDA+∠ABC=∠CDA+∠BDA+∠CAD+∠BAD=30°+15°+45°+15°=105°，
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠CDA=180°-45°-30°=105°，
又CD=CD，
∴△ACD≌△C′DC，
∴AD=CC′，
∠CBC′=∠DBC′+∠CBD，∠ABD=∠ABC+∠CBD，
∵∠ABC=∠DBC′，
∴∠CBC′=∠ABD=180°-15°-15°=150°，
∴∠BCC′=∠BC′C=15°，
∴△ABD≌△CBC′，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=∠BAD+∠CAD=15°+45°=60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．