Question

如图，抛物线y=x²+mx过点A（4，0），O为坐标原点，Q是抛物线的顶点
（1）求m的值及Q点的坐标；
（2）点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过P作PH⊥X轴，H为垂足．当点P在x轴下方抛物线上运动至何点时，折线P-H-O的长度最长？并且求出此时折线P-H-O的长度．
（3）请用文字叙述，当点P在x轴下方抛物线上运动时，折线P-H-O的长度随x的变化情况．

Answer

（1）将A点坐标代入抛物线解析式，可求m的值，利用配方法求抛物线顶点坐标；
（2）设H（x，0），表示P点坐标及折线P-H-O的长度，利用二次函数的性质求折线P-H-O长度的最大值；
（3）利用折线P-H-O的长度的解析式，解答折线P-H-O的长度随x的变化情况．
【解析】
（1）将点A（4，0）代入抛物线y=x2+mx中，得
16+4m=0，
解得m=-4，
∴抛物线解析式为y=x2-4x，
配方，得y=（x-2）2-4，∴Q（2，-4）；

（2）设H（x，0），则P（x，x2-4x），
可知，折线P-H-O的长度w=x+[-（x2-4x）]=-x2+5x=-（x-）2+，
∵-1＜0，抛物线开口向下，
∴当x=时，折线P-H-O的长度最长，长度为；

（3）∵0＜x＜4，
∴当0＜x≤时，折线P-H-O的长度随x的增大而增大，
当＜x＜4时，折线P-H-O的长度随x的增大而减小．