Question

如图，△ABC内接于⊙O，弦AC交直径BD于点E，AG⊥BD于点G，延长AG交BC于点F．  求证：AB²=BF•BC．

Answer

因为直径所对的圆周角是直角，所以作辅助线：连接AD；利用同角的余角相等，可得∠BAG=∠D，又由同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠D，证得∠C=∠BAG，又因为∠ABG是公共角，即可证得△ABF∽△CBA；由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=BF•BC．
证明：连接AD，
∵BD是直径，∴∠BAG+∠DAG=90°
∵AG⊥BD，∴∠DAG+∠D=90°．
∴∠BAF=∠BAG=∠D
又∵∠C=∠D，
∴∠BAF=∠C．
在△ABF和△CBA中，
∵∠BAF=∠C，∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA
∴AB：BC=BF：AB，即AB2=BF×BC