Question

在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程x²+mx+2-m=0的两个实数根，求△ABC的周长．

Answer

等腰三角形ABC中a可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，
①当a是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得m的值，从而求解；
②当a是底边时，方程有两个相等的根，根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系，从而求得其周长．
【解析】
∵b、c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根，
∴b+c=-m，bc=2-m，
当a为其腰时，则b=a，或c=a，
∴方程必有一个根为3，
代入方程得：9+3m+2-m=0，
解得m=-，
则b+c=-m=，
则周长是a+b+c=3+=；
当a为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴△=m2-4（2-m）=0，
∴m1=-4，m2=2＞0（舍去），
∵b+c=-m=4＞a，bc=4＞0，
∴m=-4符合题意，
∴a+b+c=3+4=7．
∴△ABC的周长为或7．