Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=60°，BC=12cm，DC=16cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为y cm²．
（1）求AD的长及t的取值范围；
（2）求y关于t的函数关系式；
（3）是否存在这样的t，使得△PQB的面积为．

Answer

（1）过D作DE⊥BC于E点，如图所示，把梯形的问题转化为矩形和直角三角形的问题，结合题目的已知条件，利用勾股定理即可求出CE，然后也可以求出AD的长度，接着就可以求出点P从出发到点C和点Q从出发到点C所需时间，也就求出了t的取值范围；
（2）首先通过计算确定P的位置在点P在DC边上，过点P作PM⊥BC于M，如图所示，由此得到PM∥DE，然后利用平行线分线段成比例可以用t表示PM，再利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；
（3）利用函数关系式结合t的取值范围把△PQB的面积为代入函数的解析式，即可求出t的值．
【解析】
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、∠B=90°过D作DE⊥BC于E点，如图所示
∴AB∥DE，
∴四边形ABED为矩形，
∵∠C=60°，DC=16cm，
∴DE=sin60°•16=×16=8，
在Rt△DEC中，DE=8cm，DC=16cm
∴EC=8cm，
∴AD=BE=BC-EC=12-8=4cm，
点P从出发到点C共需=10（秒），
点Q从出发到点C共需=12秒，
又∵t≥0，
∴0≤t≤10；

（2）当0≤t≤2时，
y==t=4t，
当2＜t≤10时，
点P在DC边上
∴PC=20-2t
过点P作PM⊥BC于M，如图所示
∴PM∥DE
∴=即=，
∴PM=10-t，
又∵BQ=t，
∴y=BQ•PM
=t•（10-t）
=5t-；

（3）当0≤t≤2时，
由4t=得t=；
当2＜t≤10时，
由5t-=得t=9或t=1（舍去）
所以当t=或t=9时，△PQB的面积为．