Question

已知二次函数y₁=x²-2x-3．
（1）结合函数y₁的图象，确定当x取什么值时，y₁＞0，y₁=0，y₁＜0；
（2）根据（1）的结论，确定函数y₂=（|y₁|-y₁）关于x的解析式；
（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与函数y₂的图象交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件？

Answer

（1）由函数图象可以很容易的得出y1＞0，y1=0，y1＜0时x所取的值；
（2）由图象可以看出，当x≤-1或x≥3时，|y1|=y1；当-1＜x＜3时，|y1|=-y1，则可分段确定出y2关于x的解析式；
（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y2的图象有三个交点，只需一次函数的图象与函数y2的图象在-1＜x＜3的范围内有两个交点即可．
【解析】
（1）画出函数y1=x2-2x-3的图象，
利用它的图象可知：当x＜-1或x＞3时，y1＞0；
当x=-1或x=3时，y1=0；
当-1＜x＜3时，y1＜0；

（2）根据（I）的结论，可得
当x≤-1或x≥3时，|y1|=y1，
于是函数y2=（|y1|-y1）=（y1-y1）=0，
当-1＜x＜3时，|y1|=-y1，
于是函数y2=（|y1|-y1）=（-y1-y1）=-y1
∴函数y2关于x的解析式为；

（3）由题设条件，k≠0时，一次函数y=kx+b的图象与函数y2的图象有三个交点，
只需一次函数的图象与函数y2的图象在-1＜x＜3的范围内有两个交点，
即方程组有两个不等的实数根，
消去y，得：
x2+（k-2）x+（b-3）=0．
即只需二次函数y=x2+（k-2）x+（b-3）的图象与x轴的两个交点在-1＜x＜3范围
内．此时，应同时满足以下三个条件：
①判别式△=（k-2）2-4（b-3）＞0．
即b＜+3，
②二次函数y=x2+（k-2）x+（b-3）图象的对称轴为x=满足-1＜-＜3
得-4＜k＜4．
又k≠0，
∴-4＜k＜0或0＜k＜4．
③当x=-1与x=3时，y=x2+（k-2）x+（b-3）的函数值均应大于0，
即
解得
∴当k＞0时，有b＞k；
当k＜0时，有b＞-3k．
综上，由（1）（2）（3）知，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与函数y2的图象有三个不
同的交点时，应满足或．