Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，且BC=6，求⊙O的直径．

Answer

（1）连接OD，首先利用等腰三角形的性质，得到∠A=∠ADO，而∠A+∠CDB=90°，接着利用已知条件即可证明∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，然后利用切线的判定方法即可证明BD是⊙O切线；
（2）连接DE，由AE是直径，得到∠ADE=90°，然后利用已知条件可以证明DE∥BC，从而得到△ADE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中点，由此可以求出DE的长度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解决问题．
【解析】
（1）证明：连接OD，…（1分）
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，…（2分）
又∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，…（4分）
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，
∴BD⊥OD，…（5分）
∴BD是⊙O切线；         …（6分）

（2）连接DE，…（7分）
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，…（8分）
又∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，…（9分）
∴AD：AC=DE：BC
又∵D是AC中点，
∴AD=AC，
∴DE=BC，
∵BC=6，∴DE=3，…（11分）
∵AD：AE=4：5，
在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，
那么DE=3x，
∴x=1
∴AE=5．