Question

边长为a，b，c的三角形有面积公式（海伦公式）：S=，其中s为半周，即s=（a+b+c）．若△ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²=16，a⁴+b⁴+c⁴=96．则S_△ABC=    ．

Answer

由a2+b2+c2=16，a4+b4+c4=96，根据（a2+b2+c2）2=a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2a2c2，即可求得2a2b2+2b2c2+2a2c2的值，又由s（s-a）（s-b）（s-c）=（a+b+c）•（b+c-a）•（a+c-b）•（a+b-c）=[（2a2b2+2b2c2+2a2c2）-（a4+b4+c4）]，整体代入即可求得S△ABC的值．
【解析】
∵a2+b2+c2=16，a4+b4+c4=96，
又∵（a2+b2+c2）2=a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2a2c2，
即162=96+（2a2b2+2b2c2+2a2c2），
∴2a2b2+2b2c2+2a2c2=160，
∵s=（a+b+c），
∴s（s-a）（s-b）（s-c）=（a+b+c）•（b+c-a）•（a+c-b）•（a+b-c）=[（2a2b2+2b2c2+2a2c2）-（a4+b4+c4）]=×（160-96）=4，
∴S△ABC===2．
故答案为：2．