Question

有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用a_i和b_i，分别表示第i（I=1，2，3…18）支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

Answer

根据题意，作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是解题的关键．
【解析】
由于每支球队都要进行18-1=17场比赛，则对于第i支球队有ai+bi=17，i=1，2，3，…18；由于比赛无平局，故所以参赛队的胜与负的总局数相等，即a1+a2+…+a18=b1+b2+…b18．
由（a12+a22+…+a182）-（b12+b22+…+b182）
=（a12-b12）+（a22-b22）+…+（a182-b182）
=17×[（a1+a2+…+a18）-（b1+b2+…b18）]
=0．
得a12+a22+…+a182=b12+b22+…+b182．