Question

在三角形ABC中，CD⊥AB，CD=3，AD=，BD=．
（1）求证：△ACD∽CBD；
（2）用圆规和直尺作出以AB为直径的圆O（保留作图痕迹），判断C点和圆O的位置关系，并说明理由；
（3）若E为直径AB上的一动点，连接CE交⊙O于F点，当△CBF为等腰三角形时，求AE的长．

Answer

（1）根据直角三角形特殊角的锐角三角函数值即可推出∠A=30°，∠ACD=60°，∠DCB=30°∠B=60°，求得∠ACB=90°后，即可求证△ACB∽△CBD；
（2）作AB的中垂线找到的中点O，然后以O点为圆形，OA为半径画圆即可；根据（1）所推出的结论∠ACB=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可推出C点在⊙O上；
（3）根据点E所移动的位置分情况进行讨论，根据题意画出图形，
①如图2，若BC=BF，根据弦与所对弧的关系推出，由直径AB，即可求出，从而推出∠CBA=∠FBA，确定BE⊥CF，由CD⊥AB，即可确定点E与点D重合，即可求出AE的长度，
②如图3，若FB=FC，连接OF，OC，由已知，可推出OA=OF=2，再根据含30度角的直角三角形的性质推出AC的长度，根据三角形内角和定理推出∠ACE=∠FBE后，通过求证△CFO≌△BFO，推出对应角相等，然后由OC=OF，确定∠FCO=∠OFC，通过等量代换求出∠ACE=∠OFC后，即可求出OF∥AC，从而的比例式AE：OE=AC：OF，根据比例式的性质对比例式变形后即可推出AE=3-3．
【解析】
（1）∵CD⊥AB，CD=3，AD=，BD=，
∴，，
∴∠A=30°，∠ACD=60°，∠DCB=30°∠B=60°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ACB∽△CBD．

（2）如图1，为所作图形，C点在⊙O上，
∵AB为⊙O的直径，
∴O点为AB的中点，
∴OA=OB，
∴∠ACB=90°，
∵OC=OA=OB，
∴C点在⊙O上．

（3）①如图2，若BC=BF，
∵△CBF为等腰三角形，
∴BC=BF，
∴，
∵直径AB，
∴，
∴∠CBA=∠FBA，
∴BE平分顶角∠CBF，
∴BE⊥CF，
∵CD⊥AB，AD=3，
∴点E与点D重合，
∴AE=AD=3，
②如图3，若FB=FC，连接OF，OC，
∵AD=3，BD=，
∴AB=4，
∴OA=OF=2，
∵∠CAB=30°，CD=3，CD⊥AB，
∴AC=6，
∵∠A=∠CFB，∠AEC=∠EFB，
∴∠ACE=∠FBE，
∵等腰三角形CFB，
∴CF=BF，
∴在△CFO和△BFO中，
，
∴△CFO和△BFO（SSS），
∴∠FBO=∠FCO，
∴∠ACE=∠FCO，
∵OC=OF，
∴∠FCO=∠OFC，
∴∠ACE=∠OFC，
∴OF∥AC，
∴AE：OE=AC：OF，
∵AC=6，OF=2，OA=2，
∴AE=3-3．