Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AC平分∠DAB，求证：AD⊥CD．

Answer

连接OC，由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与CD垂直，可得∠OCD为直角，由AC为角平分线，得到一对角相等，又OA=OC，根据等边对等角得到一对角相等，等量代换可得一对内错角相等，根据内错角相等，两直线平行得到OC与AD平行，再根据两直线平行，同旁内角互补，根据∠OCD为直角，可得∠ADC为直角，即AD与DC垂直，得证．
证明：连接OC，如图所示：

∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠OCD+∠ADC=180°，又∠OCD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥DC．