Question

是否存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？

Answer

利用反证法，首先假设存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1），可得（m+1）2=n2+n+1，又由n2+n+1不是平方数，矛盾，即可证得不存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）．
【解析】
答案是否定的．
若存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1），
则m2+2m+1=n2+n+1，
∴（m+1）2=n2+n+1，
显然n＞1，
于是n2＜n2+n+1＜（n+1）2，
∴n2+n+1不是平方数，矛盾．
∴不存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）．…（5分）