Question

已知抛物线y=-x²-3x+4和抛物线y=x²-3x-4相交于A，B两点．点P在抛物线C₁上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C₂上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

Answer

（1）根据抛物线y=-x2-3x+4和抛物线y=x2-3x-4相交于A，B两点，联立解方程组求得x、y的值，进而确定A、B的坐标．通过直角坐标系中两点间的距离公式求得AB的长．
（2）由（1）可知P点的横坐标取值介于A、B之间．当PQ∥y轴时，说明P、Q两点的横坐标相同，只要作纵坐标的差的绝对值，根据横坐标的取值，确定差的最大值即可．
【解析】
（1）由题意得，
解方程组得，；
∴点A，B的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．
于是AB=．

（2）如图，
当PQ∥y轴时，设点P，Q的坐标分别为（t，-t2-3t+4），（t，t2-3t-4），-2＜t＜2，
因此PQ=2（4-t2）≤8，当t=0时等号成立，所以，PQ的长的最大值为8．
答：（1）线段AB的长为；（2）PQ长度的最大值为8．