Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为（0，2），AB=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若S_△APO=，求矩形ABCD的面积．

Answer

（1）已知了A点坐标和AB的长，即可得出B点坐标，然后将A、B两点的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线的解析式．
（2）根据三角形APO的面积可求出P点的横坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得P点的坐标．过P作PE⊥OA于E，通过构建的相似三角形DPE和DBA，可求出AD的长，有了长和宽即可求出矩形的面积．（也可通过求直线BP的解析式得出D点坐标来求出AD的长）
【解析】

（1）由题意得，B点坐标为（4，2）
将点A（0，2），B（4，2）代入二次函数解析式得：

解得：
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+2

（2）由S△APO=可得：OA•|xp|=，即×2×|xp|=
∴xp=（负舍）
将xp=代入抛物线解析式得：yP=-
过P点作垂直于y轴的垂线，垂足为E
∵△DEP∽△DAB
∴
解得：AD=6
∴S矩形ABCD=24．