Question

一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点（m为常数），记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若m小于0，那么（2）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

Answer

（1）设对称轴与x轴的交点为E，根据点A、B的坐标求出AB的长度以及对称轴解析式，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE的长度，从而得解；
（2）根据顶点坐标设出抛物线的顶点式解析式，然后把点A的坐标代入解析式求解即可；
（3）根据m＜0判断出顶点所在的象限，然后根据点的平移变换解答．
【解析】
（1）如图，∵A（m-2，0），B（m+2，0），
∴AB=（m+2）-（m-2）=m+2-m+2=4，
∵=m，
∴抛物线对称轴为x=m，
∵抛物线顶点为C，且AC⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，且CE=AB=×4=2，
∴点C的坐标为（m，-2）；

（2）设抛物线解析式为y=a（x-m）2-2，
则a（m-2-m）2-2=0，
解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x-m）2-2；

（3）∵m＜0，
∴顶点坐标（m，-2）在第三象限，
∴抛物线y=（x-m）2-2向右平移（-m）个单位，向上平移2个单位可以使顶点在坐标原点．