Question

在正方形ABCD中，AB=12，E在边CD上，∠EBF=45°，EF=10．
（1）求△BEF的面积；
（2）求CE的长．

Answer

（1）延长DC到Q，使CQ=AF，连接BQ，根据正方形性质推出AB=BC，∠A=∠DCB=∠BCQ=∠ABC=90°，根据SAS证△ABF≌△CBQ，推出BF=BQ，∠ABF=∠CBQ，求出∠EBQ=∠EBF，根据△EBF≌△EBQ，推出EF=EQ=10，根据△BEF的面积等于△EBQ的面积，代入求出即可；
（2）设CE=x，则得出E=12-x，DF═2+x，在△DEF中根据勾股定理得出DE2+DF2=EF2，代入得出方程，求出方程的解即可．
（1）【解析】

延长DC到Q，使CQ=AF，连接BQ，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠A=∠DCB=∠BCQ=∠ABC=90°，
在△ABF和△CBQ中
，
∴△ABF≌△CBQ，
∴BF=BQ，∠ABF=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，∠EBF=45°，
∴∠ABF+∠EBC=45°，
∴∠EBC+∠CBQ=45°=∠EBQ=∠EBF，
在△EBF和△EBQ中
，
∴△EBF≌△EBQ，
∴EF=EQ=10，
∴△BEF的面积等于△EBQ的面积，即EQ×BC=×10×12=60．
答：△BEF的面积是60．

（2）【解析】
设CE=x，则DE=12-x，DF=12-AF=12-CQ=12-（10-x）=2+x，
在△DEF中，由勾股定理得：DE2+DF2=EF2，
即（12-x）2+（2+x）2=102，
解得：x1=4，x2=18＞10（舍去），
∴CE=4．